线性回归

基本概念

线性回归是最简单且应用最广泛的回归算法，它假设特征和目标之间存在线性关系。这种算法通过找到一条最佳拟合线来预测连续型目标变量。

数学原理

1. 模型表达式

$y = wx + b$ 其中：

• y 是预测值
• x 是特征值
• w 是权重（斜率）
• b 是偏置（截距）

2. 损失函数

均方误差（MSE）是线性回归最常用的损失函数：

$MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$

其中：

• n 是样本数量
• y_i 是实际值
• ŷ_i 是预测值

3. 参数估计

最小二乘法

通过最小化均方误差来求解参数：

$\begin{aligned} w &= (X^TX)^{-1}X^Ty \\ b &= \bar{y} - w\bar{x} \end{aligned}$

梯度下降法

迭代更新参数：

$\begin{aligned} w &= w - \alpha \frac{\partial MSE}{\partial w} \\ b &= b - \alpha \frac{\partial MSE}{\partial b} \end{aligned}$

应用场景

1. 房价预测：根据房屋面积、位置等特征预测房屋价格
2. 销售预测：根据广告投入预测销售额
3. 温度预测：根据历史数据预测未来温度
4. 工资预测：根据工作年限预测工资水平

优缺点

优点

• 模型简单，易于理解和实现
• 计算速度快
• 可解释性强

缺点

• 假设特征和目标之间是线性关系
• 对异常值敏感
• 特征间不能存在严重的多重共线性

实践建议

1. 数据预处理

   • 特征标准化
   • 异常值处理
   • 缺失值处理

2. 模型评估

   • 使用均方误差（MSE）
   • 使用决定系数（R²）
   • 进行残差分析

3. 模型优化

   • 特征选择
   • 正则化处理
   • 交叉验证